Question

Find the general solution of the differential equation dy/dx - y = sin x

Answer 1

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{y}=\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{The}\mathrm{above}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{linear}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{form}\mathrm{of}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{where} \\ \mathrm{P}=-1;\mathrm{Q}=\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{Now},\mathrm{IF}={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}={\mathrm{e}}^{\int -\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}} \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by} \\ \mathrm{y}\times \mathrm{IF}=\int \left[\mathrm{Q}\times \mathrm{IF}\right]\mathrm{dx}+\mathrm{C} \\ \Rightarrow {\mathrm{ye}}^{-\mathrm{x}}=\int \left[\sin \mathrm{x}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right]\mathrm{dx}+\mathrm{C}....\left(1\right) \\ \mathrm{Let}{\mathrm{I}}_1=\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}\mathrm{dx}....\left(2\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=\sin \mathrm{x}\times \left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\int \cos \mathrm{x}\times \left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}+\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\cos \mathrm{x}\mathrm{dx} \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}+\left[\cos \mathrm{x}\times \left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\int \left(-\sin \mathrm{x}\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\right] \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\cos \mathrm{x}-\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}\mathrm{dx} \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\sin \mathrm{x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\cos \mathrm{x}-{\mathrm{I}}_1\left[\mathrm{Using}\left(2\right)\right] \\ \Rightarrow 2{\mathrm{I}}_1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\left(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{2}\left(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \boxed{{\mathbf{ye}}^{\mathbf{-}\mathbf{x}}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{-}\frac{{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{x}}}{\mathbf{2}}\left(\mathbf{sin}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathbf{x}\right)\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{C}} \end{gathered}$$