Question

Find the mmaximum volume of cylinder, generated by rotating a rectangle of perimeter 48 about one of its side.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangle}=\mathrm{x}\mathrm{units} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{breadth}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangle}=\mathrm{y}\mathrm{units} \\ \mathrm{Now},\mathrm{perimeter}\mathrm{of}\mathrm{rectangle}=48\mathrm{units} \\ \Rightarrow 2\left(\mathrm{length}+\mathrm{breadth}\right)=48 \\ \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=24 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=24-\mathrm{x}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Suppose}\mathrm{the}\mathrm{rectangle}\mathrm{is}\mathrm{rotated}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{breadth}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{base}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\mathrm{r}=\frac{\mathrm{x}}{2} \\ \mathrm{Height}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\mathrm{h}=\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ \Rightarrow \mathrm{V}=\mathrm{\pi }\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{4}\left(24-\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{V}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[24{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^3\right] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[48\mathrm{x}-3{\mathrm{x}}^2\right] \\ \mathrm{For}\mathrm{maxima}\mathrm{or}\mathrm{minima} \\ \frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}=0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[48\mathrm{x}-3{\mathrm{x}}^2\right]=0 \\ \Rightarrow 48\mathrm{x}-3{\mathrm{x}}^2=0 \\ \Rightarrow 3\mathrm{x}\left(16-\mathrm{x}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=16\mathrm{or}\mathrm{x}=0\left(\mathbf{rejected}\right) \\ \frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{V}}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[48-6\mathrm{x}\right] \\ {\left[\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{V}}{{\mathrm{dx}}^2}\right]}_{\mathrm{x}=16}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[48-6\times 16\right]=-12\mathrm{\pi }<0 \\ \mathrm{So},\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{maximum}\mathrm{at}\mathrm{x}=16 \\ \mathrm{Maximum}\mathrm{volume}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[24{\left(16\right)}^2-{\left(16\right)}^3\right]=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\times 2048=512\mathrm{\pi }\mathrm{cubic}\mathrm{units} \end{gathered}$$