Question

find the probability distribution of number of queens when two cards are drawn i) successively with replacement
ii) simultaneously
iii) without replacement

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(1\right)\mathrm{Two}\mathrm{cards}\mathrm{are}\mathrm{drawn}\mathrm{successively}\mathrm{with}\mathrm{replacement}. \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=0\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{No}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{48}{52}\times \frac{48}{52}=\frac{144}{169} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=1\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{or}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right) \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{4}{52}\times \frac{48}{52}+\frac{48}{52}\times \frac{4}{52}=\frac{24}{169} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=2\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{Queen}\mathrm{and}\mathrm{Queen}\right)=\frac{4}{52}\times \frac{4}{52}=\frac{1}{169} \\ \left(2\right)\mathrm{Cards}\mathrm{are}\mathrm{drawn}\mathrm{simultaneously} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=0\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{No}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{48}{52}\times \frac{47}{51}=\frac{564}{663} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=1\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{or}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right) \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{4}{52}\times \frac{48}{51}+\frac{48}{52}\times \frac{4}{51}=\frac{96}{663} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=2\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{Queen}\mathrm{and}\mathrm{Queen}\right)=\frac{4}{52}\times \frac{3}{51}=\frac{3}{663} \\ \left(3\right)\mathrm{Without}\mathrm{Replacement} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=0\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{No}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{48}{52}\times \frac{47}{51}=\frac{564}{663} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=1\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{or}\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\mathrm{and}\mathrm{queen}\right) \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{no}\mathrm{queen}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{queen}\right) \\ =\frac{4}{52}\times \frac{48}{51}+\frac{48}{52}\times \frac{4}{51}=\frac{96}{663} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=2\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{Queen}\mathrm{and}\mathrm{Queen}\right)=\frac{4}{52}\times \frac{3}{51}=\frac{3}{663} \end{gathered}$$