Find the solution of $7 x + 5 y - 13 z + 4 = 0, 9 x + 2 y + 11 z = 37, 3 x - y + z = 2$ and then find $x + y + z$

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Solution

$A X = B$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 7 & 5 & - 13 9 & 2 & 11 3 & - 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 372 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$| A | = ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 7 & 5 & - 13 9 & 2 & 11 3 & - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ = 406$
$A d j A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 & 8 & 81 24 & 46 & - 194 - 15 & 22 & - 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$\Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{406} ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 & 8 & 81 24 & 46 & - 194 - 15 & 22 & - 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = \frac{1}{406} ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 & 8 & 81 24 & 46 & - 194 - 15 & 22 & - 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 372 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$\Rightarrow ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 132 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$∴ x + y + z = 6$

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x + 8 y + 7 z = 0, 9 x + 2 y + 3 z = 0, x + y + z = 0

(a, b, c)

x + 2 y + z = 6

2 a + b + c

x, y, z \in R

△ = ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} x & x + y & x + y + z 2 x & 5 x + 2 y & 7 x + 5 y + 2 z 3 x & 7 x + 3 y & 9 x + 7 y + 3 z \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ = - 16

x

x, y, z \in R

Δ = ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} x & x + y & x + y + z 2 x & 5 x + 2 y & 7 x + 5 y + 2 z 3 x & 7 x + 3 y & 9 x + 7 y + 3 z \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ = - 16

x

2 x + y + z = 3

x + 2 y + z = 4

3 x + z = 2

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