Question

Find the square root of
$1+a^2+{(1+a^2+a^4)}^{\frac{1}{2}}$

Answer 1

It can be written as $1+a^2+{(1+a^2+a^4)}^{\frac{1}{2}}$

$=1+a^2+\sqrt{1+a^2+a^4}$

$=1+a^2+\sqrt{1+a^4+2a^2-a^2}$

$=1+a^2+\sqrt{(1+a^2{)}^2-(a{)}^2}$

$=1+a^2+2\sqrt{\frac{1+a^2-a}{2}\times \frac{1+a^2+a}{2}}$

$=\frac{1+a+a^2}{2}+\frac{1+a^2-a}{2}+2\sqrt{\frac{1+a^2-a}{2}\times \frac{1+a^2+a}{2}}$

$=(\frac{1+a+a^2}{2}+\frac{1+a^2-a}{2}{)}^2$

Hence square root of $1+a^2+{(1+a^2+a^4)}^{\frac{1}{2}}$ is $\frac{1+a+a^2}{2}+\frac{1+a^2-a}{2}$.