Question

Find the sum of all the natural numbers between 100 and 1000 which are multiples of 7?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{list}\mathrm{of}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{between}100\mathrm{and}1000\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{multiples}\mathrm{of}7\mathrm{is}: \\ 105,112,119,...........,994 \\ \mathrm{The}\mathrm{above}\mathrm{list}\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{AP}\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=105\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=7 \\ \mathrm{Let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=994 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=994 \\ \Rightarrow 105+\left(\mathrm{n}-1\right)7=994 \\ \Rightarrow 7\left(\mathrm{n}-1\right)=889 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=127 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=128 \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}, \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{So},{\mathrm{S}}_{128}=\frac{128}{2}\left[2\times 105+127\times 7\right] \\ =64\left[210+889\right] \\ =64\times 1099 \\ =70336 \end{gathered}$$