Question

find the sum of integers between 100 and 200 which are divisible by 2 or 5

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{list}\mathrm{of}\mathrm{integers}\mathrm{between}100\mathrm{and}200\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{is}, \\ 102,104,106,...........,198. \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{list}\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{AP},\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=102\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=2 \\ \mathrm{Now},\mathrm{let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=198 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=198 \\ \Rightarrow 102+\left(\mathrm{n}-1\right)2=198 \\ \Rightarrow 2\left(\mathrm{n}-1\right)=96 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=48 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=49 \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{So},{\mathrm{S}}_{49}=\frac{49}{2}\left[2\times 102+48\times 2\right] \\ =\frac{49}{2}\left[300\right] \\ =7350 \\ \mathrm{The}\mathrm{list}\mathrm{of}\mathrm{integers}\mathrm{between}100\mathrm{and}200\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}5\mathrm{is}, \\ 105,110,115,...........,195. \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{list}\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{AP},\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=105\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=5 \\ \mathrm{Now},\mathrm{let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=195 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=195 \\ \Rightarrow 105+\left(\mathrm{n}-1\right)5=195 \\ \Rightarrow 5\left(\mathrm{n}-1\right)=90 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=18 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=19 \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{So},{\mathrm{S}}_{19}=\frac{19}{2}\left[2\times 105+18\times 5\right] \\ =\frac{19}{2}\left[300\right] \\ =2850 \\ \mathrm{The}\mathrm{list}\mathrm{of}\mathrm{integers}\mathrm{between}100\mathrm{and}200\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}10\mathrm{is}, \\ 110,120,130,........,190 \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{list}\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{AP},\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=110\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=10 \\ \mathrm{Now},\mathrm{let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=110 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=190 \\ \Rightarrow 110+\left(\mathrm{n}-1\right)10=190 \\ \Rightarrow 10\left(\mathrm{n}-1\right)=80 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=8 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=9 \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{So},{\mathrm{S}}_9=\frac{9}{2}\left[2\times 110+9\times 10\right] \\ =\frac{9}{2}\left[310\right] \\ =1395 \\ \mathrm{So},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{numbers}\mathrm{between}100\mathrm{and}200\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{or}5={\mathrm{S}}_{49}+{\mathrm{S}}_{19}-{\mathrm{S}}_9 \\ =7350+2850-1395 \\ =8805 \end{gathered}$$