Question

Find the sum of n terms of the series $\frac{1}{2.4}+\frac{1.3}{\mathrm{2.4.6}}+\frac{\mathrm{1.3.5}}{\mathrm{2.4.6.8}}+\frac{\mathrm{1.3.5.7}}{\mathrm{2.4.6.8.10}}+....$

Answer 1

$\Rightarrow t_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot (2n+2)}$

$t_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot 2n}-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot (2n+2)}$

$t_{n-1}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot (2n-2)}-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot 2n}$

.

.

.

$t_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}$

$S_n=\frac{1}{2}-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdot \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot (2n+2)}$