Question

find the value of m and n,if {x-2}and {x+1} are the factors of x^{3​​​​}+mx²-nx+4

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{mx}}^2-\mathrm{nx}+4 \\ \mathrm{Now},\left(\mathrm{x}-2\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{factor}\mathrm{of}\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right). \\ \mathrm{So},\mathrm{by}\mathrm{factor}\mathrm{theorem},\mathrm{p}\left(2\right)=0 \\ \Rightarrow {\left(2\right)}^3+\mathrm{m}{\left(2\right)}^2-\mathrm{n}\left(2\right)+4=0 \\ \Rightarrow 8+4\mathrm{m}-2\mathrm{n}+4=0 \\ \Rightarrow 4\mathrm{m}-2\mathrm{n}=-12 \\ \Rightarrow 2\mathrm{m}-\mathrm{n}=-6....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\left(\mathrm{x}+1\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{factor}\mathrm{of}\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right). \\ \mathrm{So},\mathrm{by}\mathrm{factor}\mathrm{theorem},\mathrm{p}\left(-1\right)=0 \\ \Rightarrow {\left(-1\right)}^3+\mathrm{m}{\left(-1\right)}^2-\mathrm{n}\left(-1\right)+4=0 \\ \Rightarrow -1+\mathrm{m}+\mathrm{n}+4=0 \\ \Rightarrow \mathrm{m}+\mathrm{n}=-3.......\left(2\right) \\ \mathrm{Adding}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 3\mathrm{m}=-9 \\ \Rightarrow \mathrm{m}=-3 \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ -3+\mathrm{n}=-3 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=0 \end{gathered}$$