Question

Find the value of n , if 5+9+13+⋯𝑡𝑜 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠 /7+9+11+⋯𝑡𝑜 𝑛+1 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠 = 17 /16 .​

Answer 1

Dear student

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}, \\ 5+9+13+...\mathrm{to}\mathrm{n}\mathrm{terms} \\ \mathrm{Since}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{AP}\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=5\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=9-5=4 \\ \mathrm{So},5+9+13+...\mathrm{to}\mathrm{n}\mathrm{terms}={\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\left(5\right)+(\mathrm{n}-1)4\right]\left[\because {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right]\right] \\ =\frac{\mathrm{n}}{2}\left[10+4\mathrm{n}-4\right] \\ =\frac{\mathrm{n}}{2}\left(6+4\mathrm{n}\right) \\ =\mathrm{n}\left(3+2\mathrm{n}\right) \\ \mathrm{And}\mathrm{Consider},7+9+11+....(\mathrm{n}+1)\mathrm{terms} \\ \mathrm{Since}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{AP}\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=7\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=9-7=2 \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}+1}{2}\left[2\left(7\right)+(\mathrm{n}+1-1)2\right] \\ =\frac{\mathrm{n}+1}{2}\left[14+2\mathrm{n}\right] \\ =(\mathrm{n}+1)(7+\mathrm{n}) \\ \mathrm{Now},\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that} \\ \frac{5+9+13+...\mathrm{to}\mathrm{n}\mathrm{terms}}{7+9+11+....(\mathrm{n}+1)\mathrm{terms}}=\frac{17}{16} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{n}\left(3+2\mathrm{n}\right)}{(\mathrm{n}+1)(7+\mathrm{n})}=\frac{17}{16} \\ \Rightarrow \frac{3\mathrm{n}+2{\mathrm{n}}^2}{7\mathrm{n}+{\mathrm{n}}^2+7+\mathrm{n}}=\frac{17}{16} \\ \Rightarrow 48\mathrm{n}+32{\mathrm{n}}^2=119\mathrm{n}+17{\mathrm{n}}^2+119+17\mathrm{n} \\ \Rightarrow 15{\mathrm{n}}^2-88\mathrm{n}-119=0 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{88\pm \sqrt{7744+7140}}{30}\left[\because \mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}}{2\mathrm{a}}\right] \\ \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{88\pm 122}{30} \\ \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{210}{30},\mathrm{n}=\frac{-34}{30}\left[\mathrm{Rejected}\because \mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{cannot}\mathrm{be}-\mathrm{ve}\right] \\ \Rightarrow \mathrm{n}=7 \end{gathered}$$
Regards