Question

for an adiabetic expansion of an ideal gas the fractional change in its pressure is equal to -gamma x dv+v. prove.

Answer 1

Dear Student

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{for}\mathrm{ideal}\mathrm{gas}\mathrm{is} \\ \mathrm{nRT}=\mathrm{PV}..........\left(\mathrm{i}\right)(\mathrm{R}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{gas}\mathrm{constant}) \\ \mathrm{and}\mathrm{now}\mathrm{we}\mathrm{take}\mathrm{the}\mathrm{derivative}\mathrm{so}\mathrm{equation}\mathrm{becomes}, \\ \mathrm{nRdT}=\mathrm{PdV}+\mathrm{VdP}...\left(\mathrm{ii}\right) \\ \mathrm{Also},\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{law}\mathrm{of}\mathrm{thermodynamics} \\ \mathrm{dQ}=\mathrm{dU}+\mathrm{dW} \\ \mathrm{and},\mathrm{dW}=\mathrm{PdV} \\ \mathrm{and}\mathrm{for}\mathrm{adibatic}\mathrm{process},\mathrm{dQ}=0 \\ \mathrm{and},\mathrm{dU}=\mathrm{nCvdT} \\ \mathrm{So},0=\mathrm{nCvdT}+\mathrm{PdV}...\left(\mathrm{iii}\right) \\ \mathrm{Combining}\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{and}\left(\mathrm{iii}\right) \\ -\mathrm{PdV}=\mathrm{nCvdT}=\frac{\mathrm{Cv}}{\mathrm{R}}(\mathrm{PdV}+\mathrm{VdP}) \\ \mathrm{Collecting}\mathrm{the}\mathrm{PdV}\mathrm{and}\mathrm{VdP}\mathrm{terms}\mathrm{gives} \\ 0=\left(\frac{1+\mathrm{Cv}}{\mathrm{R}}\right)\mathrm{PdV}+\frac{\mathrm{Cv}}{\mathrm{R}}\mathrm{VdP} \\ 0=\frac{\mathrm{R}+\mathrm{Cv}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}}(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{V}})+(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{P}}) \\ \mathrm{and},\mathrm{R}+\mathrm{Cv}=\mathrm{Cp} \\ 0=\frac{\mathrm{Cp}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}}(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{V}})+(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{P}}) \\ \mathrm{and}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}\frac{\mathrm{Cp}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}}=\mathrm{\gamma } \\ \mathrm{So},0=\mathrm{\gamma }(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{V}})+(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{P}}) \\ \mathrm{or},(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{P}})=-\mathrm{\gamma }(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{V}}) \end{gathered}$$