Question

For any $△$MNP, find a point in its interior which is equidistant from its sides MN, NP and MP. Justify.

Answer 1

Construction :
$$\begin{gathered} \mathrm{Draw}\mathrm{MA},\mathrm{MB}\hspace{0.17em}\mathrm{and}\mathrm{MC}\mathrm{as}\mathrm{angle}\mathrm{bisectors}\mathrm{of}\angle \mathrm{M},\angle \mathrm{N}\mathrm{and}\angle \mathrm{P}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{they}\mathrm{intersect}\mathrm{at}\mathrm{O}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{By}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{theorem}, \\ \mathrm{Point}\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{M} \\ \text{∴},\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{MN}\mathrm{and}\mathrm{MP}. \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{MN}\mathrm{and}\mathrm{NP}. \\ \text{A}\mathrm{nd}\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{NP}\mathrm{and}\mathrm{MP}. \\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{thre}\text{conditions},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{all}\mathrm{three}\mathrm{sides}. \end{gathered}$$