Question

For any three vectors $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=$

• A. $0$
• B. $1$
• C. $-1$
• D. $2$

Answer 1

Answer: (A)

$0$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$
$=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right|\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$
$=[1(1-0)+1(0-1)+0]\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$
$=(1-1)\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=0$