Question

For any two sets A and B, $\left(A-B\right)\cup \left(B-A\right)=$
(a) $\left(A-B\right)\cup A$
(b) $\left(B-A\right)\cup B$
(c) $\left(A\cup B\right)-\left(A\cap B\right)$
(d) $\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cap B\right)$.

Answer 1

(c) $\left(A\cup B\right)-\left(A\cap B\right)$

$$\begin{gathered} \left(A-B\right)\cup \left(B-A\right)=\left(A\cap B\text{'}\right)\cup \left(B\cap A\text{'}\right) \\ =\left[A\cup \left(B\cap A\text{'}\right)\right]\cap \left[B\text{'}\cup \left(B\cap A\text{'}\right)\right]\left[\mathrm{Using}\mathrm{distribution}\mathrm{law}\right] \\ =\left[\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup A\text{'}\right)\right]\cap \left[\left(B\text{'}\cup B\right)\cap \left(B\text{'}\cup A\text{'}\right)\right]\left[\mathrm{Using}\mathrm{distribution}\mathrm{law}\right] \\ =\left[\left(A\cup B\right)\cap \left(U\right)\right]\cap \left[\left(U\right)\cap \left(B\text{'}\cup A\text{'}\right)\right]\left[A\cup A\text{'}=U=B\text{'}\cup B\right] \\ =\left[A\cup B\right]\cap \left[B\text{'}\cup A\text{'}\right]\left[\left(A\cup B\right)\cap \left(U\right)=\left(A\cup B\right)\mathrm{and}\left(U\right)\cap \left(B\text{'}\cup A\text{'}\right)=\left(B\text{'}\cup A\text{'}\right)\right] \\ =\left[A\cup B\right]\cap \left[\left(A\cap B\right)\text{'}\right]\left[\left(A\cap B\right)\text{'}=B\text{'}\cup A\text{'}\right] \\ =\left[A\cup B\right]\cap \left[\left(A\cup B\right)-\left(A\cap B\right)\right] \\ =\left[\left(A\cup B\right)-\left(A\cap B\right)\right] \end{gathered}$$