Question

for $x\in R,x\ne -1$ , if $(1+x{)}^{2016}+x(1+x{)}^{2015}+x^2(1+x{)}^{2014}$
then $a_{17}$ is equal to :

• A. $\frac{2017!}{17!2000!}$
• B. $\frac{2007!}{17!2000!}$
• C. $\frac{2017!}{2000!}$
• D. $\frac{2016!}{16!}$

Answer 1

The correct option is B $\frac{2007!}{17!2000!}$

${\sum }_{i=0}^{2016}{C}_i{x}^i={(1+x)}^{2016}+x{(1+x)}^{2015}+x^2{(1+x)}^{2014}+...+x^{2016}$ is in G.P

First term$={(1+x)}^{2016}$

Common ratio$=\frac{x{(1+x)}^{2015}}{{(1+x)}^{2016}}=\frac{x}{1+x}$

${\sum }_{i=0}^{2016}{C}_i{x}^i=\frac{{(1+x)}^{2016}(1-{\left(\frac{x}{1+x}\right)}^{2017})}{1-\frac{x}{1+x}}$

$=\frac{\frac{{(1+x)}^{2016}}{1}-\frac{{(1+x)}^{2017}}{1+x}}{\frac{x+1-x}{1+x}}$

$=\frac{{(1+x)}^{2017}-x^{2017}}{1}$

$\therefore a_{17}{=}^{2017}{C}_{17}=\frac{2007!}{17!2000!}$