Question

$\frac{(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3-3(a+b\left)\right(b+c\left)\right(c+a)}{3(a^3+b^3+c^3-3abc)}$ = ____________

• A. $\frac{1}{2}$
• B. $\frac{3}{4}$
• C. $\frac{5}{6}$
• D. $\frac{2}{3}$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac{1}{2}$

$\frac{{(a+b)}^3+{(b+c)}^3+{(c+a)}^3-3(a+b)(b+c)(c+a)}{3(a^3+b^3+c^3-3abc)}$

Let $A=a+b,B=b+c,C=c+a\Rightarrow A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)$

$\frac{{(a+b)}^3+{(b+c)}^3+{(c+a)}^3-3(a+b)(b+c)(c+a)}{3(a^3+b^3+c^3-3abc)}$

$=\frac{(a+b+b+c+c+a)({(a+b)}^2+{(b+c)}^2+{(c+a)}^2-(a+b)(b+c)-(b+c)(c+a)-(c+a)(a+b))}{3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$

$=\frac{2(a+b+c)[(a+b)(a+b-b-c)+(b+c)(b+c-c-a)+(c+a)(c+a-b-c)]}{3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$

$=\frac{2}{3}\times \frac{[(a+b)(a-c)+(b+c)(b-a)+(c+a)(a-b)]}{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$

$=\frac{2}{3}\times \frac{a^2-ac+ba-bc+b^2-ba+bc-ca+c^2-cb+ac-ab}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$

$=\frac{2}{3}\times \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$

$=\frac{2}{3}\times 1=\frac{2}{3}$