Question

how find the integration this question [tan2x.tan3x.tan5x.]dx

Answer 1

Dear Student,

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}, \\ \tan 5\mathrm{x}=\tan \left(3\mathrm{x}+2\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \tan 5\mathrm{x}=\frac{\tan 3\mathrm{x}+\tan 2\mathrm{x}}{1-\tan 3\mathrm{x}.\tan 2\mathrm{x}}\left[\mathbf{as}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{tan}\mathbf{}\left(\mathbf{X}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{Y}\right)\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\frac{\mathbf{tan}\mathbf{}\mathbf{X}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{tan}\mathbf{}\mathbf{Y}}{\mathbf{1}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\mathbf{tan}\mathbf{}\mathbf{X}\mathbf{}\mathbf{.}\mathbf{}\mathbf{tan}\mathbf{}\mathbf{Y}}\right] \\ \Rightarrow \tan 5\mathrm{x}-\tan 5\mathrm{x}.\tan 3\mathrm{x}.\tan 2\mathrm{x}=\tan 3\mathrm{x}+\tan 2\mathrm{x} \\ \Rightarrow \tan 5\mathrm{x}.\tan 3\mathrm{x}.\tan 2\mathrm{x}=\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x} \\ \mathrm{now}\int \tan 2\mathrm{x}.\tan 3\mathrm{x}.\tan 5\mathrm{x}\mathrm{dx}=\int \left(\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ =\frac{\log \left|\sec 5\mathrm{x}\right|}{5}-\frac{\log \left|\sec 3\mathrm{x}\right|}{3}-\frac{\log \left|\sec 2\mathrm{x}\right|}{2}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Regards.