Question

How many numbers can be formed with the digits 1,2,3,4,3,2,1 so that the odd digits always occupy the odd places?

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{There}\mathrm{are}\mathrm{four}\mathrm{odd}\mathrm{digits}1,1,3,3\mathrm{out}\mathrm{of}\mathrm{seven}\mathrm{digits}\mathrm{given}\mathrm{to}\mathrm{us}. \\ \mathrm{Also}\mathrm{there}\mathrm{are}\mathrm{four}\mathrm{odd}\mathrm{places}\mathrm{viz}.,1\mathrm{st},3\mathrm{rd},5\mathrm{th},7\mathrm{th}. \\ \mathrm{Four}\mathrm{odd}\mathrm{places}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{filled}\mathrm{with}\mathrm{four}\mathrm{odd}\mathrm{digits}\mathrm{in}\frac{4!}{2!2!}=6\mathrm{ways}, \\ \mathrm{since}\mathrm{digits}1\mathrm{and}3\mathrm{are}\mathrm{repeated}. \\ \mathrm{Three}\mathrm{even}\mathrm{places}\mathrm{viz},2\mathrm{nd},4\mathrm{th}\mathrm{and}6\mathrm{th}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{filled}\mathrm{with}\mathrm{three}\mathrm{even} \\ \mathrm{digits}2,2,4\mathrm{in}\frac{3!}{2!}=3\mathrm{ways}. \\ \mathrm{hence}\mathrm{total}\mathrm{numbers}\mathrm{which}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{formed}=6\times 3=18. \end{gathered}$$
Regards