Question

how many numbers of two digits are divisible by 3 ?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{list}\mathrm{of}2-\mathrm{digit}\mathrm{numbers}\mathrm{divisible}\mathrm{by}3\mathrm{is}: \\ 12,15,18,........,99. \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{list}\mathrm{forms}\mathrm{an}\mathrm{AP}\mathrm{with}\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=12\mathrm{and}\mathrm{common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=3 \\ \mathrm{Let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=99 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=99 \\ \Rightarrow 12+\left(\mathrm{n}-1\right)\times 3=99 \\ \Rightarrow 3\left(\mathrm{n}-1\right)=87 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=29 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=29+1 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=30 \\ \mathrm{So},\mathrm{there}\mathrm{are}30\mathrm{two}-\mathrm{digit}\mathrm{numbers}\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}3. \end{gathered}$$