Question

If $2\cos A+3\cos B+5\cos C$$=2\sin A+3\sin B+5\sin C=0$ then
$8\cos 3A+27\cos 3B+125\cos C$$=k\cos (A+B+C)$ then $k=$

• A. $70$
• B. $80$
• C. $90$
• D. $60$

Answer 1

The correct option is C $90$

$\Rightarrow$$2\cos A+3\cos B+5\cos C=2\sin A+3\sin B+5\sin C=0$

$\Rightarrow$$\cos \theta =\frac{1}{2}(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$

$\Rightarrow$$\sin \theta =\frac{1}{2j}(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$

$\therefore 2\frac{1}{2}(e^{jA}+e^{-jA})+3\frac{1}{2}(e^{jB}+e^{-jB})+5\frac{1}{2}(e^{jC}+e^{-jC})=0$

$\Rightarrow$$2(e^{jA}+e^{-jA})+3(e^{jB}+e^{-jB})+5(e^{jC}+e^{-jC})=0-\left(i\right)$

Also,$2(e^{jA}-e^{-jA})+3(e^{jB}-e^{-jB})+5(e^{jC}-e^{-jC})=0-\left(ii\right)$

$\Rightarrow$As$\left(i\right)-\left(ii\right)$

$\Rightarrow$$4e^{-jA}+6e^{-jB}+10e^{-jC}=0$

$\Rightarrow$$2e^{-jA}+3e^{-jB}+5e^{-jC}=0$

Cubing on both sides.

$\Rightarrow$$8e^{-j3A}+27e^{-j3B}+125e^{-j3C}+3(e^{-jA}\times 2\times 3e^{-jB}.5e^{-jC})=0$

$\therefore 8e^{-j3A}+27e^{-j3B}+125e^{-j3C}=90e^{-jA}{e}^{-jB}{e}^{-jC}$
$\therefore k=90$