Question

If $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=$

• A. $0$
• B. $3\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
• C. $3\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$
• D. $3\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$

Answer 1

The correct option is D $3\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$

$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}=0$
$\Rightarrow (2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{a}=0$
$\Rightarrow 4\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=3\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ ..................$\left(1\right)$
$(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b}=0$
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ ............$\left(2\right)$
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$
$=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\frac{3}{4}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
$=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4})$
$=\frac{9}{4}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
$=3\times \frac{3}{4}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
$=3\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$ using $\left(1\right)$ and $\left(2\right)$