Question

If a > 0 and discriminant of ax² + 2bx + c is negative, then

$∆=\left|\begin{array}{ccc}a& b& ax+b\\ b& c& bx+c\\ ax+b& bx+c& 0\end{array}\right|\mathrm{is}$

(a) positive
(b) $\left(ac-b^2\right)\left(a{x}^2+2bx+c\right)$
(c) negative
(d) 0

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{negative} \\ \mathrm{Discriminant}\mathrm{D}\mathrm{of}{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}={\left(2\mathrm{b}\right)}^2-4\mathrm{ac}<0\left[\mathrm{Given}\right] \\ \Rightarrow 4{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}<0 \\ \Rightarrow {\mathrm{b}}^2-\mathrm{ac}<0,\mathrm{where}\mathrm{a}>0\dots \left(1\right) \\ \mathrm{\Delta }=\left|\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ \mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}\mathrm{bx}+\mathrm{c}0\right| \\ =\left|\mathrm{ax}\mathrm{bx}{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx} \\ \mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}\mathrm{bx}+\mathrm{c}0\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_1\to \mathrm{x}{\mathrm{R}}_1\right] \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}\left|\mathrm{ax}+\mathrm{b}\mathrm{bx}+\mathrm{c}{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}\mathrm{bx}+\mathrm{c}0\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_1\to {\mathrm{R}}_1+R_2\right] \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}\left|00{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}\mathrm{bx}+\mathrm{c}0\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_1\to {\mathrm{R}}_1-R_3\right] \\ =\frac{1}{x}\left\{{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}& \mathrm{bx}+\mathrm{c}\end{array}\right|\right\}\left[\mathrm{Expanding}\mathrm{along}{\mathrm{R}}_1\right] \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}\left({\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}\right)\left({\mathrm{b}}^2\mathrm{x}+\mathrm{bc}-\mathrm{acx}-\mathrm{bc}\right) \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}\left({\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}\right)x\left({\mathrm{b}}^2-\mathrm{ac}\right) \\ =\left({\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}\right)\left({\mathrm{b}}^2-\mathrm{ac}\right)<0\left[\mathrm{From}\mathrm{eq}.\left(1\right)\right] \\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }<0 \end{gathered}$$