Question

If $|a|<1and|b|<1$, then the sum fo the series $1+(1+a)b+(1+a+a^2)b^2+(1+a+a^2+a^3)b^3+...is$

• A.
• B.
• C.
• D.

Answer 1

The correct option is C

We have,

$1+(1+a)b+(1+a+a^2)b^2+(1+a+a^2+a^3)b^3+....\infty$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(1+a+a^2+....+a^{n-1})b^{n-1}$

$=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1-a^n}{1-a}\right)b^{n-1}$

$=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b^{n-1}}{1-a}-=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n{b}^{n-1}}{1-a}$

$=\frac{1}{1-a}\sum _{n=1}^{\infty }{b}^{n-1}-\frac{a}{1-a}\sum _{n=1}^{\infty }(ab{)}^{n-1}$

$=\frac{1}{1-a}[1+b+b^2+....\infty ]-\frac{a}{1-a}[1+ab+(ab{)}^2+.....\infty ]$

$=\frac{1}{1-a}\times \frac{1}{1-b}-\frac{a}{(1-a)(1-ab)}$

$=\frac{a}{(1-ab)(1-b)}$