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Question

 If A=(1011] and I=(1001], then which of the following holds for all nN?
  1. An=nA(n1)I
  2. An=2n1A(n1)I
  3. An=nA+(n1)I
  4. An=2n1A+(n1)I


Solution

The correct option is A An=nA(n1)I
We shall prove by principle of mathematical induction  that first option is correct.Let P(n) be the statement,P(n): An=nA(n1)IConsider P(1)LHS=A and RHS=A(11)I=AThus P(n) is true for n=1.Assume that P(k) is true for some kN.Then Ak=kA(k1)I          ...(1)Now, we will show that P(k+1) is true whenever P(k) is true.Consider Ak+1=Ak.A                          =(kA(k1)I).A     (Using (1)]                          =kA2(k1)AA2=A.A = (1011](1011]=(1021]we get  A2=2AISo, Ak+1=k(2AI)(k1)A                =2kAkI(k1)A                =(2kk+1)AkI                =(k+1)A((k+1)1)IThus, P(k+1) is true whenever P(k) is true.Hence, by principle of mathematical induction,P(n) is true for all natural number.Hence, the first option is correct.Then, clearly third option is wrong.Now, consider the second option.An=2n1A(n1)IFor n=2, LHS=A2 =(1021]  and RHS=2AI=(1021]  P(n) is true for n=2.
For n=3, LHS=A3=(1031]and RHS=4A2I=(2042]Thus, for n=3, LHSRHS

Similarly, we can show that the fourthoption is not true for n=2.

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