Question

If A and B are equivalence relations defined on a set C,then explain how A intersection B is an equivalence relation.kindly do not post any link.

Answer 1

Dear student,

$$\begin{gathered} \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{relations}\mathrm{on}\mathrm{set}\mathrm{C}. \\ \therefore \mathrm{A}\subseteq \mathrm{C}\times \mathrm{C}\mathrm{and}\mathrm{B}\subseteq \mathrm{C}\times \mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\subseteq \mathrm{C}\times \mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{a}\mathrm{relation}\mathrm{on}\mathrm{C}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{we}\mathrm{shall}\mathrm{show}\mathrm{that}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{equivalence}\mathrm{relation}\mathrm{on}\mathrm{C}. \\ \mathrm{We}\mathrm{observe}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{following}\mathrm{properties}\mathrm{of}\mathrm{relation}\mathrm{A}\cap \mathrm{B}: \\ \mathrm{Reflexivity}:\mathrm{Let}\mathrm{a}\mathrm{be}\mathrm{an}\mathrm{arbitrary}\mathrm{element}\mathrm{of}\mathrm{C}.\mathrm{then}, \\ \mathrm{a}\in \mathrm{C} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{a},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{B}\left[\because \mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{reflexive}\right] \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \mathrm{Thus},\left(\mathrm{a},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{a}\in \mathrm{C}.\mathrm{So},\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{reflexive}\mathrm{relation}\mathrm{on}\mathrm{C}. \\ \mathrm{Symmetry}: \\ \mathrm{Let}\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{C}\mathrm{such}\mathrm{that}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}.\mathrm{Then}, \\ \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{B} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{B}\left[\because \mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{symmetric}\right] \\ \Rightarrow \left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \mathrm{thus},\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\Rightarrow \left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{for}\mathrm{all}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \mathrm{So},\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{symmetric}\mathrm{on}\mathrm{C}. \\ \mathrm{Transitivity}: \\ \mathrm{Let}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{C}\mathrm{such}\mathrm{that}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}.\mathrm{Then}, \\ \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \Rightarrow \left\{\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{B}\right\}\mathrm{and}\left\{\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{B}\right\} \\ \Rightarrow \left\{\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A},\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\right\}\mathrm{and}\left\{\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{B},\left(\mathbf{b}\mathbf{,}\mathbf{c}\right)\mathbf{\in }\mathbf{B}\right\} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{B}\left[\begin{array}{c}\because \mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{transitive}.\\ \therefore \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{A}\Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\\ \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{B}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{a}\right)\in \mathrm{B}\Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{B}\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \mathrm{Thus},\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{and}\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\Rightarrow \left(\mathrm{a},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \\ \mathrm{So},\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{transitive}\mathrm{on}\mathrm{A}. \\ \mathrm{hence},\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{equivalence}\mathrm{relation}\mathrm{on}\mathrm{C}. \end{gathered}$$
Regards