Question

If A and B are symmetric matrices then (AB + BA) is a matrix and (AB - BA) is a matrix.

• A. skew - symmetric
• B. symmetric
• C. null
• D. identity

Answer 1

Answer: (A), (B)

symmetric

$A\mathrm{and}B\mathrm{are}\mathrm{symmetric}\mathrm{matrices}\Rightarrow A^T=A,B^T=B\mathrm{Now},{\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BA}\right)}^T=B^T{A}^T+A^T{B}^T=\left(B\right)\left(A\right)+\left(A\right)\left(B\right)=\mathrm{BA}+\mathrm{AB}\Rightarrow (\mathrm{AB}+\mathrm{BA})\mathrm{is}\mathrm{symm}.{\left(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}\right)}^T=B^T{A}^T-A^T{B}^T=\left(B\right)\left(A\right)-\left(A\right)\left(B\right)=\mathrm{BA}-\mathrm{AB}=-(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})\Rightarrow (\mathrm{AB}-\mathrm{BA})\mathrm{is}\mathrm{skew}-\mathrm{symm}.$