Question

If A and B are two events, then P ($\overline{A}$ ∩ B) =
(a) P $\left(\overline{A}\right)$ P $\left(\overline{B}\right)$
(b) 1 − P (A) − P (B)
(c) P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(d) P (B) − P (A ∩ B)

Answer 1

(d) P (B) − P (A ∩ B)



$$\begin{gathered} \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{diagram},\mathrm{we}\mathrm{get}A\cap B\mathrm{and}\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{mutually}\mathrm{exclusive}\mathrm{events}\mathrm{such}\mathrm{that}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cup (\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=\mathrm{B}.\mathrm{Therefore}\mathrm{by}\mathrm{addition}\mathrm{theorem}\mathrm{of}\mathrm{probability}\mathrm{we}\mathrm{have} \\ \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right) \\ \therefore P\left(\overline{\overline{A}}\cap B\right)=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right) \end{gathered}$$