Question

If A + B + C = 2 S, then sin (S - A) + sin (S - B) + sin (S - C) - sin S =

• A. 4 sin A sin B sin C
• B. 4 cos cos cos
• C. 4 cos A cos B cos C
• D. 4 sin . sin . sin

Answer 1

The correct option is D

4 sin . sin . sin

Given expression

Sin (S - A) + sin (S - B) + sin (S - C) - sin S

Using sin C + sin D formula using sin C - sin D formula

2 sin $\frac{(S-A+S-B)}{2}$ . cos $\frac{(S-A-S+B)}{2}$ + 2 cos $\frac{(S-C+S)}{2}$ . sin $\frac{(S-C-S)}{2}$

= 2 sin $\frac{(2S-A-B)}{2}$ . cos $\frac{(-A+B)}{2}$ + 2 cos $\frac{(2S-C)}{2}$ . sin $\frac{(-C)}{2}$

Substituting 2S = A + B + C

= 2 sin $\left(\frac{(A+B+C-A-B)}{2}\right)$ . cos $\left(\frac{(-A+B)}{2}\right)$ + 2 cos $\left(\frac{(A+B+C-C)}{2}\right)$ $\{-sin\frac{C}{2}\}$

= 2 sin $\frac{C}{2}$ . cos $\left(\frac{B-A}{2}\right)$ - 2 cos $\left(\frac{A+B}{2}\right)$ . sin $\frac{C}{2}$

= 2 sin $\frac{C}{2}$ $[cos\left(\frac{B-A}{2}\right)-cos\left(\frac{A+B}{2}\right)]$

Using cos C - cos D formula

$=2sin\frac{C}{2}[2sin\frac{(\frac{B-A}{2}+\frac{A+B}{2})}{2}.sin\frac{\left(\right(\frac{A+B}{2}-\left(\frac{B-A}{2}\right))}{2}]$

= 2 sin $\frac{C}{2}$ [2 sin $\frac{B}{2}$ . sin$\frac{A}{2}$]

= 4 sin $\frac{A}{2}$ . sin $\frac{B}{2}$ . sin $\frac{C}{2}$