Question

If $a,b,c$ are non-coplanar vectors then find the value of
$\frac{(a+2b-c).(a-b)\times (a-b-c)}{\left[abc\right]}$

Answer 1

$=\frac{(a+2b-c).(a-b)\times (a-b-c)}{\left[abc\right]}$

$=\frac{(a+2b+c)[a\times a-a\times b-a\times c-b\times a+b\times b+b\times c]}{\left[abc\right]}$

$=\frac{(a+2b+c)[0-a\times b-a\times c+a\times b+0+b\times c]}{\left[abc\right]}$

$=\frac{(a+2b+c)[b\times c+c\times a]}{\left[abc\right]}$

$=\frac{a.(b\times c)+a(c\times a)+2b(b\times c)+2b(c\times a)+c(b\times c)+c(c\times a)}{\left[abc\right]}$

$=\frac{\left[abc\right]+0+0+2\left[bca\right]+0+0}{\left[abc\right]}=\frac{3\left[abc\right]}{\left[abc\right]}$

$=3$