Question

If a + b + c is divisible by 6 then prove a³+ b³ + c³is also divisible by 6

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{three}\mathrm{consective}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6\mathrm{and}\mathrm{so}\mathrm{is}\mathrm{their}\mathrm{product} \\ \mathrm{So}\mathrm{here}{\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{c}}^3=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-\mathrm{ab}-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}\right)-3\mathrm{abc} \\ \mathrm{Given}\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6\mathrm{and}\mathrm{also}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{then}\mathrm{abc}\mathrm{will}\mathrm{also}\mathrm{be}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6\mathrm{so} \\ \mathrm{Here}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{see}\mathrm{that} \\ {\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{c}}^3=6\mathrm{k}\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-\mathrm{ab}-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}\right)-6\times 3\mathrm{m} \\ =6\left[\mathrm{k}\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-\mathrm{ab}-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}\right)-3\mathrm{m}\right] \\ =6\mathrm{L} \\ \mathrm{So}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6 \end{gathered}$$