Question

If $A+B+C=\pi$, Prove that
$\cos 4A+\cos 4B+\cos 4C=-1+4\cos 2A\cos 2B\cos 2C$.

Answer 1

We have,

$A+B+C=\pi ......\left(1\right)$

L.H.S.

$\cos 4A+\cos 4B+\cos 4C$

$2\cos \frac{(4A+4B)}{2}\cos \left(\frac{4A-4B}{2}\right)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos (2A+2B)\cos (2A-2B)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos 2(A+B)\cos (2A-2B)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos 2(A+B)\cos (2A-2B)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos 2(\pi -C)\cos (2A-2B)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos 2C\cos (2A-2B)+2{\cos }^{2}2C-1$

$=2\cos 2C[\cos (2A-2B)+\cos 2C]-1$

$=2\cos 2C[\cos (2A-2B)+\cos 2(\pi -(A+B))]-1$

$=2\cos 2C[\cos (2A-2B)+\cos (2A+2B)]-1$

$=2\cos 2C[\cos (2A+2B)+\cos (2A-2B)]-1$

$=2\cos 2C\left[2\cos 2A\cos 2B\right]-1$

$=4\cos 2A\cos 2B\cos 2C-1$

R.H.S.

Hence proved.