Question

# If A=[0−tanα2tanα20] and I is the identity matrix of order 2, show that I + A =(I−A)[cosα−sinαsinαcosα]

Solution

## Here, A=[0−tt0], where t=tan(α2) Now, cosα=1−tan2(α2)1+tan2(α2)=1−t21+t2 and sinα=2tan(α2)1+tan2(α2)=2t1+t2 RHS=(I−A)[cosα−sinαsinαcosα]=[(1001)−(0−t+t0)]⎡⎢⎣1−t21+t2−2t1+t22t1+t21−t21+t2⎤⎥⎦ =[1t−t1]⎡⎢⎣1−t21+t2−2t1+t22t1+21−t21+t2⎤⎥⎦=⎡⎢ ⎢⎣1−t2+2t21+t2−2t+t(1−t2)1+t2−t(1−t2)+2t1+t22t2+1−t21+t2⎤⎥ ⎥⎦=⎡⎢⎣1+t21+t2−2t+t−t31+t2−t+t3+2t1+22t2+1−t21+t2⎤⎥⎦=⎡⎢ ⎢⎣1+t21+t2−t(1+t2)1+t2t(1+t2)1+t21+t21+t2⎤⎥ ⎥⎦=[1−tt1]LHS=[1001]+[0−tt0]=[0+1−t+0t+00+1]=[1−tt1]=RHS Putting the value of t on both sides, we get [1−tan(α2)tan(α2)1]=[1−tan(α2)tan(α2)1] ∴LHS=RHS. hence proved. Alternale method Here, A=[0−tan(α2)tan(α2)0] ∴I+A=[1001]+[0−tan(α2)tan(α2)0]=[1−tan(α2)tan(α2)0] and I−A=[1001]−[0−tan(α2)tan(α2)0]=[1tan(α2)−tan(α2)1] ∴(I−A)[cosα−sinαsinαcosα]=[1tan(α2)−tan(α2)1][cosα−sinαsinαcosα]=[cosα+tan(α2)sinα−sinα+tan(α2)cosα−tan(α2)cosα+sinαtan(α2)sinα+cosα]=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣cosαcos(α2)+sin(α2)sinθcos(α2)−sinαcos(α2)+sin(α2)cosαcos(α2)−sin(α2)cosα+cos(α2)sinαcos(α2)sin(α2)sinα+cos(α2)cosαcos(α2)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ =⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣cos(α−α2)cos(α2)−sin(α−α2)cos(α2)sin(α−α2)cos(α2)cos(α−α2)cos(α2)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣cos(α2)cos(α2)−sin(α2)cos(α2)sin(α2)cos(α2)cos(α2)cos(α2)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦(∵ cos(A−B)=cos A cos B+sin A sin Bsin(A−B)=sin A cos B−cos A sin B)=[1−tan(α2)tan(α2)1]=I+A Thus, I+A=(I−A)[cosα−sinαsinαcosα] Hence proved. Mathematics

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