Question

If a function f(x) is bijective in [a,b] , then prove that integration of f(x) dx from a to b + integration of f^-1(x) dx from f(a) to f(b) = b f(b) - a f(a)

Answer 1

Dear student

$$\begin{gathered} {\int }_{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)}{\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{let}\mathrm{y}={\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ {\int }_{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)}{\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ ={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ ={{\left[\mathrm{y}\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\right]}_{\mathrm{a}}}^{\mathrm{b}}-{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ =\mathrm{bf}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{af}\left(\mathrm{a}\right)-{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{dx} \\ \mathrm{So},{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+{\int }_{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)}{\mathrm{f}}^{-1}(\mathrm{x})\mathrm{dx}=\mathrm{bf}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{af}\left(\mathrm{a}\right) \end{gathered}$$

Regards