Question

If A is a square matrix satisfying A^T A = I, write the value of |A|.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}A=\left[a_{ij}\right]\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{square}\mathrm{matrix}\mathrm{of}\mathrm{order}\mathrm{n}. \\ \mathrm{Here}, \\ \left|A\right|=\left|A^T\right|\left[\mathrm{By}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{determinants}\right] \\ \mathrm{Given}:{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}=\mathrm{I} \\ \Rightarrow \left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}\right|=1 \\ \mathrm{Then}, \\ \left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}\right|=\left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right|\left|\mathrm{A}\right|\left[\mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{determinants}\mathrm{are}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{order}\right] \\ \Rightarrow \left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right|\left|\mathrm{A}\right|=1 \\ \Rightarrow \left|\mathrm{A}\right|=\frac{1}{\left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right|} \\ \Rightarrow \left|\mathrm{A}\right|=\frac{1}{\left|\mathrm{A}\right|}\left[\therefore \left|A\right|=\left|A^T\right|\right] \\ \Rightarrow {\left|\mathrm{A}\right|}^2=1 \\ \Rightarrow \left|A\right|=\pm 1 \end{gathered}$$