Question

If $\mathrm{A}$ is a square matrix such that ${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}$, then ${(\mathrm{I}+\mathrm{A})}^3-7\mathrm{A}$ is?

• A. $3\mathrm{I}$
• B. $0$
• C. $\mathrm{I}$
• D. $2\mathrm{I}$

Answer 1

The correct option is C

$\mathrm{I}$

Explanation of the correct option:

Compute the required value:

It is given that, ${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}$

Consider, ${(\mathrm{I}+\mathrm{A})}^3-7\mathrm{A}$

${(\mathrm{I}+\mathrm{A})}^3={\mathrm{I}}^3+{\mathrm{A}}^3+3{\mathrm{I}}^2\mathrm{A}+3{\mathrm{IA}}^2$ $\mathrm{[}\mathrm{Using}{\mathrm{}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{b}\mathrm{)}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}{\mathrm{b}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\mathrm{b}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathrm{ab}}^{\mathrm{2}}\mathrm{]}$ $$\begin{gathered} \Rightarrow {(\mathrm{I}+\mathrm{A})}^3-7A={\mathrm{I}}^3+{\mathrm{A}}^3+3{\mathrm{I}}^2\mathrm{A}+3{\mathrm{IA}}^2-7\mathrm{A} \\ \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+{\mathrm{A}}^3+3\mathrm{A}+3{\mathrm{A}}^2-7\mathrm{A} \end{gathered}$$

${\mathrm{A}}^3={\mathrm{A}}^2\times \mathrm{A}$

$\Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+({\mathrm{A}}^2\times \mathrm{A})+3\mathrm{A}+3{\mathrm{A}}^2-7\mathrm{A}$

Putting, ${\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+(\mathrm{A}\times \mathrm{A})+3\mathrm{A}+3\mathrm{A}-7\mathrm{A} \\ \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+{\mathrm{A}}^2+6\mathrm{A}-7\mathrm{A} \\ \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+{\mathrm{A}}^2-\mathrm{A} \\ \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I}+\mathrm{A}-\mathrm{A} \\ \Rightarrow (\mathrm{I}+\mathrm{A}{)}^3-7A=\mathrm{I} \end{gathered}$$

Hence, option $\left(\mathrm{C}\right)$ is the correct answer.