Question

if a polynomial is defined as P(x) = 2x^​5+ ax⁴+ bx³+ cx²+ dx + e such that​P(0) = 4,​P(1) = 5,​P(2) = 8,
P(3) = 13,P(4) = 20 find the value ofP(5).

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{ax}}^4+{\mathrm{bx}}^3+{\mathrm{cx}}^2+\mathrm{dx}+\mathrm{e} \\ \mathrm{P}\left(0\right)=0+0+0+0+0+\mathrm{e}=4 \\ \mathrm{So}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{e}=4 \\ \mathrm{Now}\mathrm{P}\left(1\right)=2+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+4=5 \\ \mathrm{or}\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=-1......\left(2\right) \\ \mathrm{P}\left(2\right)=128+16\mathrm{a}+8\mathrm{b}+4\mathrm{c}+2\mathrm{d}+4=5 \\ \mathrm{or}16\mathrm{a}+8\mathrm{b}+4\mathrm{c}+2\mathrm{d}=-127......\left(2\right) \\ \mathrm{Also}, \\ \mathrm{P}\left(3\right)=13 \\ 2\times 3^5+3^4\times \mathrm{a}+3^3\times \mathrm{b}+3^2\times \mathrm{c}+3\mathrm{d}+4=13 \\ 81\mathrm{a}+27\mathrm{b}+9\mathrm{c}+3\mathrm{d}=-477........\left(3\right) \\ \mathrm{P}\left(4\right)=20 \\ 2\times 4^5+\mathrm{a}\times 4^4+\mathrm{b}\times 4^3+\mathrm{c}\times 4^2+\mathrm{d}\times 4+4=20 \\ 256\mathrm{a}+64\mathrm{b}+16\mathrm{c}+4\mathrm{d}=-496......\left(4\right) \\ \mathrm{We}\mathrm{can}\mathrm{see}\mathrm{that}\mathrm{we}\mathrm{have}4\mathrm{equation}\mathrm{in}4\mathrm{variable}\mathrm{so}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{simplify}\mathrm{them}\mathrm{to}\mathrm{get}\mathrm{the} \\ \mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}. \\ \mathrm{Try}\mathrm{to}\mathrm{solve}\mathrm{it}\mathrm{for}\mathrm{your}\mathrm{own}\mathrm{practice}. \end{gathered}$$