Question

If $\overline{a},\overline{b},\overline{c},$ are non - coplanar vectors and $\overline{p}=\frac{\overline{b}\times \overline{c}}{\left[\overline{b}\overline{c}\overline{a}\right]},\overline{q}=\frac{\overline{c}\times \overline{a}}{\left[\overline{c}\overline{a}\overline{b}\right]},\overline{r}=\frac{\overline{a}\times \overline{b}}{\left[\overline{a}\overline{b}\overline{c}\right]}$ then :
$(\overline{a}-\overline{b}-\overline{c})\cdot \overline{p}-(\overline{b}-\overline{c}-\overline{a})\cdot \overline{q}+(\overline{c}-\overline{a}-\overline{b})\cdot \overline{r}$ =

• A. $0$
• B. $-3$
• C. $3$
• D. $-9$

Answer 1

The correct option is C $3$

If a,b and c are vectors then we know that,

$\left[abc\right]$$=\left[bca\right]$$=\left[cab\right]$

and $a.b\times c=b.c\times a=c.a\times b=$$\left[abc\right]$

also $\left[aab\right]=\left[bbc\right]=\left[cca\right]=$$\left[aac\right]=\left[bba\right]=\left[ccb\right]=0$

$\therefore (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).\overrightarrow{p}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}).\overrightarrow{q}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{r}$

$=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).\frac{\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}).\frac{\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}}{\left[abc\right]}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\left[abc\right]}r=3\times \frac{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}=3$