Question

If $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$ are non coplanar vectors, then find $\frac{(\overline{a}+2\overline{b}-\overline{c}).[(\overline{a}-\overline{b})\times (\overline{a}-\overline{b}-\overline{c})]}{\left[\overline{a}\overline{b}\overline{c}\right]}$

Answer 1

Given

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ are non coplanar vector

Hence, $\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\ne 0$

$\frac{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).\left[\right(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\left)\right]}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=\frac{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).\left[\right(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}]}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=\frac{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).[\overrightarrow{0}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}]}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=\frac{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=\frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+2\overrightarrow{b}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+2\overrightarrow{b}.(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})-\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=\frac{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]+0+0+2\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]-0-0}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}$

$=3$