Question

If α, β be roots of equation (x−a)(x−b)+c=0, c is not equal to 0 then roots of equation (x-α)(x-β)-c=0 are?

Answer 1

Dear Student,



$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{are}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{equation}(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{b})+\mathrm{c}=0,\mathrm{c}\ne 0 \\ (\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{b})+\mathrm{c}=0 \\ {\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{ab}+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{roots}=\mathbf{\alpha }\mathbf{+}\mathbf{\beta }\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{-}\left(\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\right)}{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left(\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\right) \\ \mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{roots}=\mathbf{\alpha \beta }\mathbf{=}\frac{\mathbf{ab}\mathbf{+}\mathbf{c}}{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{ab}\mathbf{+}\mathbf{c} \\ \mathrm{Now}\mathrm{consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}(\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })(\mathrm{x}-\mathrm{\beta })-\mathrm{c}=0 \\ (\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })(\mathrm{x}-\mathrm{\beta })-\mathrm{c}=0 \\ {\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }\right)\mathrm{x}+\mathrm{\alpha \beta }-\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{roots}=-\frac{\mathbf{-}\left(\mathbf{\alpha }\mathbf{+}\mathbf{\beta }\right)}{\mathbf{1}}=\mathbf{\alpha }\mathbf{+}\mathbf{\beta }\mathbf{=}\left(\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\right) \\ \mathrm{Product}\mathrm{of}\mathrm{roots}=\frac{\mathbf{\alpha \beta }\mathbf{-}\mathbf{c}}{\mathbf{1}}=\mathbf{\alpha \beta }\mathbf{-}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{ab} \\ \mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{roots}\mathrm{of}(\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })(\mathrm{x}-\mathrm{\beta })-\mathrm{c}=0\mathrm{are}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b} \end{gathered}$$

Regards