Question

If $\Delta ABC$ is right angled at $A$, then the value of $r_2+r_3$ is:

• A. $r_1-r$
• B. $r_1+r$
• C. $s-r$
• D. $a$

Answer 1

Answer: (A), (C), (D)

$a$

Given: $A={90}^{\circ }$
We know, $r_1=s\tan \frac{A}{2}=\frac{\Delta }{s-a}$
$\Rightarrow \frac{s(s-a)}{\Delta }=\frac{1}{\tan \frac{A}{2}}\cdots \left(i\right)$
Also, $r_2+r_3=\frac{\Delta }{s-b}+\frac{\Delta }{s-c}$
$\Rightarrow r_2+r_3=\Delta \left(\frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)}\right)$
$\Rightarrow r_2+r_3=\Delta (\frac{a}{(s-b)(s-c)}\times \frac{s(s-a)}{s(s-a)})$
$\Rightarrow r_2+r_3=\Delta \left(\frac{as(s-a)}{{\Delta }^2}\right)=\frac{as(s-a)}{\Delta }$
Using equation $\left(i\right)$
$\Rightarrow r_2+r_3=\frac{a}{\tan \frac{A}{2}}=a(\because \tan \frac{A}{2}=\tan {45}^{\circ }=1)$
Now, $r=(s-a)\tan \frac{A}{2}=s-a$
Also, $r_1=s\tan \frac{A}{2}=s$
$r_1-r=s-(s-a)=a$
$\therefore r_2+r_3=s-r=r_1-r=a$