Question

If $A+B+C=\frac{\pi }{2},$ then show that ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=1-2\sin A\sin B\sin C$ and ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=2+2\sin A\sin B\sin C$.

Answer 1

$A+B+C=\frac{\pi }{2}$
${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+\frac{1-\cos 2C}{2}$

$=\frac{1}{2}(3-(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C))$

$=\frac{1}{2}(3-\left(2\cos (A+B)\cos (A-B)+\cos (\pi -2(A+B))\right))$

$=\frac{1}{2}(3-\left(2\cos (A+B)\cos (A-B)-\cos 2(A+B)\right))$

$=\frac{1}{2}(3-2\cos (A+B)\cos (A-B)-2{\cos }^2(A+B)-1)$

$=\frac{1}{2}(2-2\cos (A+B)\left(\cos (A-B)-\cos (A+B)\right))$

$=1-2\sin A\sin B\sin C$
${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=\frac{\cos 2A+1}{2}+\frac{\cos 2B+1}{2}+\frac{\cos 2C+1}{2}$

$=\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+3)$

$=\frac{1}{2}(2\cos (A+B)\cos (A-B)+\cos (\pi -2(A+B))+3)$

$=\frac{1}{2}\left(2\cos (A+B)\cos (A-B)-\cos 2(A+B)+3\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2\cos (A+B)\cos (A-B)-\cos 2(A+B)+3\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2\cos (A+B)\cos (A-B)-2{\cos }^2(A+B)+4\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2\cos (A+B)(\cos (A-B)-\cos (A+B))+4\right)$
$=2+2\sin A\sin B\sin C$