Question

If $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-x& a& b\\ b& -x& a\\ a& b& -x\end{array}\right|$ then a factor of $\Delta$ is

• A. $a+b+x$
• B. $x^2-(a-b)x+a^2+b^2+ab$
• C. $x^2+(a+b)x+a^2+b^2-ab$
• D. $a+b-x$

Answer 1

Answer: (C), (D)

$x^2+(a+b)x+a^2+b^2-ab$
$a+b-x$

Applying $C_1\to C_1+C_2+C_3$
$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}a+b-x& a& b\\ a+b-x& -x& a\\ a+b-x& b& -x\end{array}\right|=(a+b-x)\left|\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 1& -x& a\\ 1& b& -x\end{array}\right|$
Again applying $R_2\to R_2-R_1,R_3\to R_3-R_1$
$\Delta =(a+b-x)\left|\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& -x-a& a-b\\ 0& b-a& -x-b\end{array}\right|=(a+b-x)((x+a)(x+b)+{(a-b)}^2)=(a+b-x)(x^2+(a+b)x+a^2+b^2-ab)$