Question

If $e^{ax}+e^{-bx}=p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+...$ to $\infty$ then

• A. $p_1=a+b,p_2=\frac{a^2-b^2}{2}$
• B. $p_0=2,p_3=\frac{a^3-b^3}{6}$
• C. $p_1=a-b,p_2=\frac{a^2+b^2}{2}$
• D. $p_0=2,p_3=\frac{a^3+b^3}{6}$

Answer 1

Answer: (B), (C)

The correct options are
B $p_0=2,p_3=\frac{a^3-b^3}{6}$
C $p_1=a-b,p_2=\frac{a^2+b^2}{2}$

$e^{ax}=1+ax+\frac{(ax{)}^2}{2!}+\frac{(ax{)}^3}{3!}...\infty$
$e^{-bx}=1-bx+\frac{(bx{)}^2}{2!}-\frac{(ax{)}^3}{3!}...\infty$
$e^{ax}+e^{-bx}=2+(a-b)x+\frac{(a^2+b^2)x^2}{2!}+\frac{(a^3-b^3)x^3}{3!}...\infty$
Hence
$P_0=2$
$P_1=a-b$
$P_2=\frac{a^2+b^2}{2!}=\frac{a^2+b^2}{2}$.
$P_3=\frac{a^3-b^3}{3!}$
:
:
$P_n=\frac{a^n+(-b{)}^n}{n!}$