Question

If $I=\int \log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})dx,$ then I equals

• A. $[2x-(a+b)\log ](\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})+C$
• B. $\frac{1}{2}[2x-(a+b)]\left(\log (b-a)\right)-\log (\sqrt{x-a}-\sqrt{x-b})-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{(x-a)(x-b)}+C$
• C. $\frac{1}{2}[2x-(a+b)]\log (\sqrt{x-a}-\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}\sqrt{(x-a)(x-b)}+C$
• D. none of these

Answer 1

Answer: (C)

$\frac{1}{2}[2x-(a+b)]\log (\sqrt{x-a}-\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}\sqrt{(x-a)(x-b)}+C$

$I=\int 1.\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})dx=x\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})-\int \frac{x}{2}\left(\frac{1}{(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})}\right)(\frac{1}{\sqrt{x-a}}+\frac{1}{\sqrt{x-b}})dx=x\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}{I}_1$
Where $I_1=\int \frac{x}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}dx$
Put $t=x-\frac{1}{2}(a+b)$ and $k=\frac{1}{2}(a-b)$, we get
$I_1=\int \frac{t+\frac{a+b}{2}}{\sqrt{(t-k)(t+k)}}dt=\sqrt{t^2-k^2}+\frac{a+b}{2}\log |t+\sqrt{t^2-k^2}|$
Hence
$I=x\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}\sqrt{(x-a)(x-b)}-\frac{1}{4}(a+b)\log |x-\frac{a+b}{2}+\sqrt{(x-a)(x-b)}|+c=x\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}\sqrt{(x-a)(x-b)}-\frac{1}{4}(a+b)\log {(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})}^2+c=\frac{1}{2}[2x-(a+b)]\log (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})-\frac{1}{2}\sqrt{(x-a)(x-b)}+c$