Question

If $I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$ then $I$ equals

• A. $\frac{\pi }{12}$
• B. $\frac{\pi }{6}$
• C. $\frac{\pi }{4}$
• D. $\frac{\pi }{3}$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac{\pi }{12}$

We can write
$I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}dx\left(1\right)$
Using ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx,$
We can write $I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{\sqrt{\cos (\pi /2-x)}}{\sqrt{\cos (\pi /2-x)}+\sqrt{\sin (\pi /2-x)}}dx$
$I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx\left(2\right)$
Adding $\left(1\right)$ and $\left(2\right),$ we get
$2I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}dx=x{]}_{\pi /6}^{\pi /3}=\frac{\pi }{6}$
$\Rightarrow I=\pi /12$