Question

If $I=\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx$, then I equals

• A. $\log |\cos x|+\left(1/2\right)\log |\cos 2x|+\left(1/3\right)\log |\cos 3x|+C$
• B. $\log |\cos x|-\left(1/2\right)\log |\cos 2x|-\left(1/3\right)\log |\cos 3x|+C$
• C. $\log |\cos x|+\left(1/2\right)\log |\cos 2x|-\left(1/3\right)\log |\cos 3x|+C$
• D. none of these

Answer 1

Answer: (C)

$\log |\cos x|+\left(1/2\right)\log |\cos 2x|-\left(1/3\right)\log |\cos 3x|+C$

Given : $I=\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx$,

We have,

$\tan 3x=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x}$

$\Rightarrow \tan x\tan 2x\tan 3x=\tan 3x-\tan 2x-\tan x$

Therefore

$I=\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx=\int \tan 3x-\tan 2x-\tan x$

$I=\log \cos x+\frac{1}{2}\log \cos 2x-\frac{1}{3}\log \cos 3x+c$