Question

If $p=a+b\omega +c{\omega }^2;q=b+c\omega +a{\omega }^{2}andr=c+a\omega +b{\omega }^2$, where $a,b,c\ne 0$ and $\omega$ is the non-real complex cube root of unity, then:

• A. $p+q+r=a+b+c$
• B. $p^2+q^2+r^2=a^2+b^2+c^2$
• C. $p^2+q^2+r^2=p+q+r$
• D. none of these

Answer 1

Answer: (C)

$p^2+q^2+r^2=p+q+r$

$p+q+r=a+b\omega +c{\omega }^2+b+c\omega +a{\omega }^2+c+a\omega +b{\omega }^2$

$=a(1+\omega +{\omega }^2)+b(1+\omega +{\omega }^2)+c(1+\omega +{\omega }^2)=0$ (As $1+\omega +{\omega }^2=0$)

$(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$

$p^2+q^2+r^2=-2(pq+qr+rp)$

$=-2(ab+ac\omega +a^2{\omega }^2+b^2\omega +bc{\omega }^2+ab{\omega }^3+bc{\omega }^2+c^2{\omega }^3+ac{\omega }^4$

$+bc+ab\omega +b^2{\omega }^2+c^2\omega +ac{\omega }^2+bc{\omega }^3$ $+ac{\omega }^2+a^2{\omega }^3+ab{\omega }^4+$

$ac+a^2\omega +ab{\omega }^2+bc\omega +ab{\omega }^2+b^2{\omega }^3+c^2{\omega }^2+ac{\omega }^3+bc{\omega }^4)$

$=-2(ab+ac\omega +a^2{\omega }^2+b^2\omega +bc{\omega }^2+ab+bc{\omega }^2+c^2+ac\omega +$

$+bc+ab\omega +b^2{\omega }^2+c^2\omega +ac{\omega }^2+bc+ac{\omega }^2+a^2+ab\omega$

$+ac+a^2\omega +ab{\omega }^2+bc\omega +ab{\omega }^2+b^2+c^2{\omega }^2+ac+bc\omega )$

$=-2\left(a^2\right({\omega }^2+1+\omega )+b^2(\omega +{\omega }^2+1)+c^2(1+\omega +{\omega }^2)$

$+ab(1+1+\omega +\omega +{\omega }^2+{\omega }^2)$

$+ac(\omega +\omega +{\omega }^2+{\omega }^2+1+1)$

$+bc({\omega }^2+{\omega }^2+1+1+\omega +\omega ))$

$=0$