Question

If $S=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\infty$, then $e^S$ equals

• A. ${\log }_e\frac{4}{e}$
• B. $\frac{4}{e}$
• C. ${\log }_e\frac{e}{4}$
• D. $\frac{e}{4}$

Answer 1

The correct option is B $\frac{4}{e}$

$T_n={(-1)}^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}$

$={(-1)}^{n+1}\frac{n+1-n}{n(n+1)}$

$={(-1)}^{n+1}[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]$

$S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\infty$

We know that $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}...\infty$

$S=[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\infty ]+[-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\infty ]$

$=[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\infty ]+[-1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\infty ]$

$={\log }_e\left(2\right)+{\log }_e\left(2\right)-1$

$={\log }_e\left(4\right)-{\log }_e\left(e\right)$

$S={\log }_e\left(\frac{4}{e}\right)$

$e^S=\frac{4}{e}$

Hence, option 'B' is correct.