Question

If f(2a − x) = −f(x), prove that $\underset{0}{\overset{2a}{\int }}f\left(x\right)dx=0.$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}I={\int }_0^{2a}f\left(x\right)dx \\ \mathrm{Using}\mathrm{additive}\mathrm{property} \\ I={\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}+{\int }_{\mathrm{a}}^{2\mathrm{a}}f\left(\mathrm{x}\right)\mathit{d}x \\ \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{integral}{\int }_{\mathrm{a}}^{2\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{x}=2\mathrm{a}-\mathrm{t},\mathrm{Then}\mathrm{dx}=-\mathrm{dt} \\ \mathrm{When}\mathrm{x}=\mathrm{a},\mathrm{t}=\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{x}=2\mathrm{a},\mathrm{t}=0 \\ \mathrm{Therefore}, \\ {\int }_{\mathrm{a}}^{2\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=-{\int }_{\mathrm{a}}^0\mathrm{f}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{t}\right)d\mathrm{t} \\ ={\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{t}\right)d\mathrm{t} \\ ={\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}\left(\mathrm{chang}\mathrm{ing}\mathrm{the}\mathrm{variable}\right) \\ \mathrm{We}\mathrm{have}\mathrm{f}\left(2\mathrm{a}-\mathrm{x}\right)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{Therefore}, \\ I={\int }_0^{\mathrm{a}}f\left(x\right)\mathit{d}x-{\int }_0^{\mathrm{a}}f\left(x\right)\mathit{d}x=0\mathrm{} \end{gathered}$$