Question

If $f(a+b-x)=f\left(x\right)$ , simplify ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx$

Answer 1

$I={\int }_a^{b}x.f\left(x\right)dx$ ......$\left(1\right)$

Replace $x\to a+b-x$

$I={\int }_a^b(a+b-x).f(a+b-x)dx$

$I={\int }_a^b(a+b-x).f(a+b-x)dx$

$I={\int }_a^b(a+b-x).f\left(x\right)dx$ .........$\left(2\right)$

Adding $\left(1\right)$ and $\left(2\right)$ we get

$2I={\int }_a^{b}x.f\left(x\right)dx+{\int }_a^b(a+b-x).f\left(x\right)dx$

$2I=(a+b){\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

$\therefore I=\frac{a+b}{2}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$